Question

设函数f(x)＝x2－(a－2)x－alnx.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；

(3)若方程f(x)＝c有两个不相等的实数根x1、x2，求证：f′>0.

 

Answer 1

（1）单调增区间为，单调减区间为（2）3（3）见解析

【解析】(1)【解析】
f′(x)＝2x－(a－2)－ (x>0)．

当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．

当a>0时，由f′(x)>0，得x> ；由f′(x)<0，得0<x< .

所以函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为.

(2)【解析】
由(1)得，若函数f(x)有两个零点，则a>0，且f(x)的最小值f <0，即－a2＋4a－4aln <0.因为a>0，所以a＋4ln－4>0.

令h(a)＝a＋4ln－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln －1＝ln－1>0，所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0.

当a>a0时，h(a)>0；当0<a<a0时，h(a)<0.所以满足条件的最小正整数a＝3.

又当a＝3时，f(3)＝3(2－ln3)>0，f(1)＝0，所以a＝3时，f(x)有两个零点．

综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3.

(3)证明：因为x1、x2是方程f(x)＝c的两个不等实根，由(1)知a>0.

不妨设0<x1<x2，则－(a－2)x1－alnx1＝c，－(a－2)x2－alnx2＝c.

两式相减得－(a－2)x1－alnx1－＋(a－2)·x2＋alnx2＝0，

即＋2x1－－2x2＝ax1＋alnx1－ax2－alnx2＝a(x1＋lnx1－x2－lnx2)．

所以a＝.

因为f′＝0，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，

故只要证> 即可，即证明x1＋x2> ，

即证明－＋(x1＋x2)(lnx1－lnx2)< ＋2x1－－2x2，

即证明ln <.设t＝ (0<t<1)．

令g(t)＝lnt－，则g′(t)＝.

因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t＝1时，g′(t)＝0，

所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．

又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)，g(t)<0总成立．所以原题得证．