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2.已知曲线C1:ρ=4cosθ.
(1)在极坐标系中,与曲线C1相切的一条直线方程为B
A.ρcosθ=2   B.ρsinθ=2   C.ρ=4sin(θ+$\frac{π}{3}$)   D.ρ=4sin(θ-$\frac{π}{3}$)
(2)已知曲线C1的极坐标方程为:ρcosθ=3,则曲线C1与C2交点的极坐标为(2$\sqrt{3}$,$\frac{π}{6}$)或(2$\sqrt{3}$,-$\frac{π}{6}$).

分析 (1)曲线C1:ρ=4cosθ是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,分别求出四个选项中的直角坐标方程,由此能求出结果.
(2)曲线C2的直角坐标方程为x=3,联立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{(x-2)^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$,先求出曲线C1与C2交点的直角坐标,再求出曲线C1与C2交点的极坐标.

解答 解:(1)∵曲线C1:ρ=4cosθ,
∴ρ2=4ρcosθ,
∴x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,
即曲线C1是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,
在A中,ρcosθ=2是直线x=2,圆心(2,0)在直线x=2上,故ρcosθ=2与曲线C1不相切,故A错误;
在B中,ρsinθ=2是直线y=2,圆心(2,0)到直线y=2的距离d=2=r,故ρcosθ=2与曲线C1相切,故B正确;
在C中,ρ=4sin(θ+$\frac{π}{3}$)=2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ,∴${ρ}^{2}=2ρsinθ+2\sqrt{3}ρcosθ$,
∴直角坐标方程为:x2+y2-2$\sqrt{3}$x-2y=0,是以($\sqrt{3}$,1)为圆心,以2为半径的圆,故C错误;
在D中,ρ=4sin(θ-$\frac{π}{3}$)=2sin$θ-2\sqrt{3}cosθ$,∴${ρ}^{2}=2ρsinθ-2\sqrt{3}ρcosθ$,
∴直角坐标方程为${x}^{2}+{y}^{2}-2y+2\sqrt{3}x$=0,是以(-$\sqrt{3}$,1)为圆心,以2为半径的圆,故D错误.
故选:B.
(2)∵曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=3,
∴曲线C2的直角坐标方程为x=3,
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{(x-2)^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$,解得x=3,y=$\sqrt{3}$,或x=3,y=-$\sqrt{3}$.
当x=3,y=$\sqrt{3}$时,$ρ=\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$,cosθ=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,(3,$\sqrt{3}$)在第一象限,∴θ=$\frac{π}{6}$;
当x=3,y=-$\sqrt{3}$时,$ρ=\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$,cosθ=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,(3,-$\sqrt{3}$)在第四象限,∴θ=-$\frac{π}{6}$.
∴曲线C1与C2交点的极坐标为(2$\sqrt{3}$,$\frac{π}{6}$)或(2$\sqrt{3}$,-$\frac{π}{6}$).
故答案为:(2$\sqrt{3}$,$\frac{π}{6}$)或(2$\sqrt{3}$,-$\frac{π}{6}$).

点评 本题考查直线与圆相切的判断,考查曲线C1与C2交点的极坐标的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意极坐标方程和直角坐标方程互化公式的合理运用.

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