Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．
（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0
∴设直线OA的方程为y=kx（k≠0）
∴联立方程解得，（4分）
以代上式中的k，解方程组，解得x_B=2pk²，y_B=-2pk
∴A（，），B（2pk²，-2pk）（8分）
（2）设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得（10分）
消去参数k，得y²=px-2p²；即为M点轨迹的普通方程．（12分）
分析：（1）设直线OA的方程为y=kx（k≠0），与抛物线y²=2px（p＞0）联立即可解出用k表示的A点的坐标，再由条互相垂直的弦OA、OB这一关系，两直线过同一点原点，斜率互为负倒数的关系得出B的坐标．
（2）由（1），M是AB的中点，故可由中点坐标公式得到点M的以k为参数的参数方程，水运参数k，即可得到所求的点M的轨迹的决不能方程．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关系中的相关的知识，其中在第一小问中要注意根据两直线垂直且过同一点这一关系，求得点B的坐标，此一技巧大大简化了计算，注意总结这一经验且能在类似的题题中进行推广，其特征是过同一点，且两直线的斜率之间有一个固定的数量关系，本题第二小问所得到的方程是参数方程，由参数方程转化为普通方程常用的方法是代入法，加减消元等，做题时要注意选择合适的方法消去参数．直线与圆锥曲线这一类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重．本本类型中的题转化灵活，运算量大，且比较抽象，易出错，做题时要严谨认真．