Question

18．观察下列三角形数表：
第一行                      1
第二行                    2   2
第三行                  3   4    3
第四行                 4  7    7    4
第五行               5  11  14    11   5
…
假设n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）．
（1）依次写出第八行的所有数字；
（2）归纳出a_n+1与a_n之间的关系式，并求出a_n的通项公式．

Answer 1

分析 由已知分析可得第n行的第一个数字和最后一个数字为n，其它数字规律是上一行的相邻两个数的和为下一行的数，进而得到答案．

解答 解：（1）由已知分析可得第n行的第一个数字和最后一个数字为n，其它数字规律是上一行的相邻两个数的和，
用列举的方法计算第六行的数有，6，16，25，25，16，6．
第七行的数有，7，22，41，50，41，22，7
第八行的数有，8，29，63，91，91，63，29，8．
（2）由已知可得：
当n=2时，a_n+1-a_n=2；
当n=3时，a_n+1-a_n=3；
当n=4时，a_n+1-a_n=4；
当n=5时，a_n+1-a_n=5；
当n=6时，a_n+1-a_n=6；
当n=7时，a_n+1-a_n=7；
…
归纳可得：a_n+1-a_n=n，
相加的a_n-a₂=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2=$\frac{（n+1）（n-2）}{2}$，
∴a_n=$\frac{（n+1）（n-2）}{2}$+2=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+1

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．