【题目】已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(3)若函数,求函数的零点.
【答案】(1) (2) 为奇函数(3)
【解析】试题分析:(1)要使函数有意义, 必须满足,从而得到定义域;(2)利用奇偶性定义判断奇偶性;(3)函数的零点即方程的根.即的根,又为奇函数,所以.易证: 在定义域上为增函数,∴由得,从而解得函数的零点.
试题解析:
(1)要使函数有意义, 必须满足,∴,
因此, 的定义域为.
(2)函数为奇函数.
∵的定义域为,对内的任意有:
,
所以, 为奇函数.
(3)函数的零点即方程的根.即的根,
又为奇函数,所以.
任取,且,
∵,∴,∴
∵且,∴ ,
∴,∴,
∴,即,∴在定义域上为增函数,
∴由得解得或,
验证当时, 不符合题意,当时,符合题意,
所以函数的零点为.
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【题目】已知函数f(x)=(2x+b)ex , F(x)=bx﹣lnx,b∈R.
(1)若b<0,且存在区间M,使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,求b的取值范围;
(2)若F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.
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【题目】如图所示,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线l与抛物线交于P,Q两点,弦PQ的中点为N,经过点N作y轴的垂线与C的准线交于点T.
(Ⅰ)若直线l的斜率为1,且|PQ|=4,求抛物线C的标准方程;
(Ⅱ)证明:无论p为何值,以线段TN为直径的圆总经过点F.
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【题目】设函数f(x)在R上存在导函数f′(x),对于任意的实数x,都有f(x)=4x2﹣f(﹣x),当x∈(﹣∞,0)时,f′(x)+ <4x,若f(m+1)≤f(﹣m)+4m+2,则实数m的取值范围是( )
A.[﹣ ,+∞)
B.[﹣ ,+∞)
C.[﹣1,+∞)
D.[﹣2,+∞)
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【题目】已知Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},A是由直线y=0,x=a(0<a≤1)和曲线y=x3围成的曲边三角形的平面区域,若向区域Ω上随机投一点P,点P落在区域A内的概率是 ,则a的值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】某公司为了研究年宣传费(单位:千元)对销售量(单位:吨)和年利润(单位:千元)的影响,搜集了近 8 年的年宣传费和年销售量数据:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
38 | 40 | 44 | 46 | 48 | 50 | 52 | 56 | |
45 | 55 | 61 | 63 | 65 | 66 | 67 | 68 |
(Ⅰ)请补齐表格中 8 组数据的散点图,并判断与中哪一个更适宜作为年销售量关于年宣传费的函数表达式?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)若(Ⅰ)中的,且产品的年利润与, 的关系为,为使年利润值最大,投入的年宣传费 x 应为何值?
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