Question

【题目】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；

②sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；

③sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；

④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°

⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°

（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= ，并证明你的结论．

（参考公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβsin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）选择②式利用同角三角函数基本关系和降幂公式化简求值；（Ⅱ）对后两个式子用和差角公式展开化简计算即可.

解：（Ⅰ）选择②式：

所以该常数为；

（Ⅱ）三角恒等式为 ，

证明如下：