Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E ，F ，G ，H ，M ，N 分 别是正方体六个面的中心，求证：平面EFG ∥平面HMN.

Answer 1

证明：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图．
不妨设正方体的棱长为2，则E(1，1，0)，F(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，2，1)，M(1，1，2)，N(0，1，1).
所以=(0，-1，1)，
=(1，1，0)，
=（0，-1，1），
=(1，1，0)，
所以
∴EF∥HM，FG∥NH.
因为HM平面HMN，NH平面HMN，
所以EF∥平面HMN,FG平面HMN.
因为EF平面EFG，FG平面EFG，
EF∩FG=F，
所以平面EFG∥平面HMN.