Question

【题目】已知，若，则的最小值为__________；若，则的最大值为__________．

Answer 1

【答案】8

【解析】

根据题意，由基本不等式的性质可得4＝x+2y≥2，变形可得2xy，进而可得x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，分析可得第一个空；再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.

根据题意，x，y∈R+，且x+2y＝4，则有4＝x+2y≥2，变形可得2xy，（当且仅当x＝2y时等号成立）

x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，

又由4xy，则有x2+4y2，

即x2+4y2的最小值为8；

若，则由柯西不等式得

（）（1+），（当且仅当x＝4y时等号成立），

所以4

即的最大值为，

故答案为：(1). 8 (2). ．