Question

【题目】已知函数 在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）求函数g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值；
（Ⅲ）已知a＞1，b＞0，证明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的导数为 ，
因为函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
所以 ≥0在（1，+∞）上恒成立，
即 在（1，+∞）上恒成立，
所以只需 ，
又因为a＞0，所以a≥1．
（Ⅱ）因为x∈[0，+∞），所以 ，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，
所以g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值为g（0）=0．
（Ⅲ）证明：因为a＞1，b＞0，所以 ，由（Ⅰ）知 在（1，+∞）上是增函数，
所以 ，即 ，化简得 ，又因为 ，
由第（Ⅱ）问可知 ，即 ，
综上 得证
【解析】（Ⅰ）求导，由题意可知 ≥0在（1，+∞）上恒成立，则即可求得a的取值范围；（Ⅱ）由 ，则g（x）在[0，+∞）上单调递减，求得g（x）最大值；（Ⅲ）由（Ⅰ）知 在（1，+∞）上是增函数，则 ，化简得 ，由（Ⅱ）可知 ，即 ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．