Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 若an=﹣3Sn+4，bn=﹣log2an+1 ．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式与数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn= + ，其中n∈N*，若数列{cn}的前n项和为Tn ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）an=﹣3Sn+4，n≥2时，an﹣1=﹣3Sn﹣1+4，相减可得：an﹣an﹣1=﹣3an，可得an= ．

n=1时，a1=﹣3a1+4，解得a1=1．

∴数列{an}为等比数列，首项为1，公比为 ．

∴an= ．

bn=﹣log2an+1=﹣ =2n．

（Ⅱ）cn= + = + = + ，其中n∈N*，

设数列{ }的前n项和为An= +…+ ，

∴ = +…+ + ，

∴ = +…+ ﹣ = ﹣ ，

∴An=2﹣ ．

设数列 的前n项和为Bn．

则Bn= + +…+ =1﹣ = ．

∴数列{cn}的前n项和Tn=2﹣ + ．

【解析】（1）an=﹣3Sn+4，n≥2时，an﹣1=﹣3Sn﹣1+4，相减可得：an﹣an﹣1=﹣3an，可得an= a n 1，不难得出此为等比数列，且首项为1，公比q为，再将an的通项公式代入bn=﹣log2an+1，可得bn的通项公式，（2）由（1）中的bn，表示出Cn，利用分组求和，错位相减求得+ + +…+ ,使用裂项相消求得+++···+,最终相加可得数列{cn}的前n项和Tn.