Question

某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x³+x万元．设余下工程的总费用为y万元．
（1）试将y表示成关于x的函数；
（2）需要修建多少个增压站才能使y最小？

Answer 1

分析：（1）设需要修建k个增压站，则（k+1）x=120，由此能够求出y与x的函数关系．
（2）设f(x)=

51840

x

+120x2-312(0＜x≤120)，则f′(x)=-

51840

x2

+240x=

240

x2

(x3-216)．由f'（x）＞0，得x³＞216，又0＜x≤120，则6＜x≤120．所以f（x）在区间（6，120]内为增函数，在区间[0，6）内为减函数．由此求出需要修建19个增压站才能使y最小．

解答：解：（1）设需要修建k个增压站，则（k+1）x=120，即k=

120

x

-1．
所以y=432k+(k+1)(x3+x)=432×(

120

x

-1)+

120

x

(x3+x)=

51840

x

+120x2-312．
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤120．
故y与x的函数关系是y=

51840

x

+120x2-312(0＜x≤120)．
（2）设f(x)=

51840

x

+120x2-312(0＜x≤120)，则f′(x)=-

51840

x2

+240x=

240

x2

(x3-216)．
由f'（x）＞0，得x³＞216，
又0＜x≤120，则6＜x≤120．
所以f（x）在区间（6，120]内为增函数，在区间[0，6）内为减函数．
所以当x=6时，f（x）取最小值，此时k=

120

x

-1=

120

6

-1=19．
故需要修建19个增压站才能使y最小．

点评：本题考查解函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意导数的灵活运用．