Question

（2012•闵行区一模）记函数f（x）在区间D上的最大值与最小值分别为max{f（x）|x∈D}与min{f（x）|x∈D}．设函数f（x）=

-x+2b，  x∈[1，b] b，         x∈(b，3]

，1＜b＜3．g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]．
（1）若函数g（x）在[1，3]上单调递减，求a的取值范围；
（2）若a∈R．令，h（a）=max{g（x）|x∈[1，3]}-{g（x）|x∈[1，3]}．记d（b）=min{h（a）|a∈R}．试写出h（a）的表达式，并求min{d（b）|b∈（1，3）}；
（3）令k（a）=max{g[f（x）]|x∈l}-min{g[f（x）]|x∈l}（其中l为g[f（x）]的定义域）．若l恰好为[1，3]，求b的取值范围，并求min{k（a）|a∈R}．

Answer 1

分析：（1）写出函数g（x），利用函数在[1，3]上单调递减，即可求得a的范围；
（2）分类讨论：0≤a≤

b-1

2

，

b-1

2

＜a≤1，分别求出max{g（x）|x∈[1，3]}与min{g（x）|x∈[1，3]}，即可求得h（a）的表达式，利用函数的单调性，可求出min{d（b）|b∈（1，3）}；
（3）分类讨论：（ⅰ）当x∈（b，3]时，f（x）=b，g[f（x）]=ab+b；
（ⅱ）当

x∈[1，b] -x+2b∈[1，b]

，即x=b时，g[f（x）]=ab+b
（ⅲ）当

x∈[1，b] -x+2b∈(b，3]

时，即

x∈[1，b] x∈[2b-3，b)

，g[f（x）]=

-ax+2ab+b，x∈[1，b] ab+b，x∈(b，3]

，由此可得k（a）的表达式，从而可求min{k（a）|a∈R}．

解答：解：（1）g(x)=f(x)+a=

(a-1)x+2b，x∈[1．b] ax+b，x∈(b，3]

，（2分）
∵函数g（x）在[1，3]上单调递减，∴

a-1＜0 a＜0

，∴a＜0（4分）
（2）①当0≤a≤

b-1

2

时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b-1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，此时，h（a）=a+b-ab-1
②当

b-1

2

＜a≤1时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，此时，h（a）=3a-ab，故h（a）=

(1-b)a+b-1，0≤a≤ b-1 2 (3-b)a， b-1 2 ＜a≤1

，（2分）
因h（a）在[0，

b-1

2

]上单调递减，在[

b-1

2

，1]单调递增，故d（b）=min{h（a）|a∈R}=h（

b-1

2

）=

(3-b)(b-1)

2

，（4分）
故当b=2时，得min{d（b）|b∈（1，3）}=

1

2

．     （6分）
（3）（ⅰ）当x∈（b，3]时，f（x）=b，g[f（x）]=ab+b
（ⅱ）当

x∈[1，b] -x+2b∈[1，b]

，即x=b时，g[f（x）]=ab+b
（ⅲ）当

x∈[1，b] -x+2b∈(b，3]

时，即

x∈[1，b] x∈[2b-3，b)

（*），（3分）
①若2b-3＞1即b＞2，由（*）知x∈[2b-3，b），但此时I=[2b-3）∪{b}∪（b，3]≠[1，3]，所以b＞2不合题意．
②若2b-3≤1即b≤2，由（*）知x∈[1，b），此时I=[1，b））∪{b}∪（b，3]=[1，3]，故1＜b≤2，（5分）      
且g[f（x）]=

-ax+2ab+b，x∈[1，b] ab+b，x∈(b，3]

于是，当a≤0时，k（a）=（ab+b）-（2ab+b-a）=（1-b）a
当a＞0时，k（a）=（2ab+b-a）-（ab+b）=（b-1）a
即k（a）=

(1-b)a，a≤0 (b-1)a，a＞0

                    （7分）
从而可得当a=0时，min{k（a）|a∈R}=0．（8分）

点评：本题考查新定义，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定分类标准，难度较大．