Question

关于f(x)=4sin(2x+

π

3

)(x∈R)，有下列命题：
①y=f（x）图象关于直线x=-

5π

12

对称
②y=f（x）图象关于（-

π

6

，0）对称；
③y=f（x）图象上相邻最高点与最低点的连线与x轴的交点一定在y=f（x）的图象上．
其中正确命题的序号有

 

．

Answer 1

分析：将x=-

5π

12

代入函数f(x)=4sin(2x+

π

3

)中得到f（-

5π

12

）=-4为最值，可验证①正确；
将x=-

π

6

代入函数f(x)=4sin(2x+

π

3

)中，得到f（-

π

6

）=0，进而可得到图象关于（-

π

6

，0）对称，故②正确；
根据函数f(x)=4sin(2x+

π

3

)(x∈R)是关于点（-

π

6

+

kπ

2

，0）成中心对称的图形，进而可得到相邻最高点与最低点均关于其对应的（-

π

6

+

kπ

2

，0）对称，故连线必过点（-

π

6

+

kπ

2

，0），可验证③正确．

解答：解：①、将x=-

5π

12

代入函数f(x)=4sin(2x+

π

3

)中得到
f（-

5π

12

）=4sin[2(-

5π

12

)+

π

3

]=-4，故x=-

5π

12

是y=f（x）的对称轴，即①正确；
②、将x=-

π

6

代入函数f(x)=4sin(2x+

π

3

)中，得到f（-

π

6

）=4sin[2(-

π

6

)+

π

3

]=0，
故y=f（x）图象关于（-

π

6

，0）对称，故②正确；
③、因为函数f(x)=4sin(2x+

π

3

)(x∈R)是关于点（-

π

6

+

kπ

2

，0）对称的图形，故相邻最高点与最低点均关于其对应的（-

π

6

+

kπ

2

，0）对称，从而两点连线定过点（-

π

6

+

kπ

2

，0），故③正确．
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查正弦函数的基本性质--对称性．考查对基础知识的掌握熟练程度和认识深度．