如图,四棱锥中,侧面是等边三角形,在底面等腰梯形中,,,,,为的中点,为的中点,.
(1)求证:平面平面;
(2)求证:平面.
(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析.
【解析】
试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线面平行的判定,运用传统几何法证明,突出考查空间想象能力.第一问,利用已知的边长和特殊关系,证明出,,所以利用线面垂直的判定定理就会得出平面,再利用面面垂直的判定定理即可;第二问,先利用线面平行的判定定理证明∥平面,通过同位角相等可以得出,再证明平面,再通过面面平行的判定定理得到平面∥平面,所以面内的线平行平面.
试题解析:(Ⅰ)∵是等边三角形,是的中点,
∴, . 2分
∵在中,,, 3分
∴,∴.
在中,, 4分
∴是直角三角形.∴.
又∵,,∴平面.
又∵平面,∴平面⊥平面. 6分
(Ⅱ)取的中点,连接.
∵,点分别是的中点,∴.
又平面,平面,所以∥平面. 8分
∵点是的中点,∴,
又,∴是等边三角形,∴.
又平面,平面,所以平面.
∵,∴平面∥平面.
∵平面,∴平面. 12分
考点:1.余弦定理;2.勾股定理;3.线面垂直的判定定理;4.面面垂直的判定定理;5.线面平行的判定定理;6.面面平行的判定定理.
科目:高中数学 来源: 题型:
如图,四棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.
(Ⅰ)求与底面所成角的大小;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源:2011届河北省邯郸一中高三高考压轴模拟考试文数 题型:解答题
(本小题12分)如图,四棱锥中,
侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.
(1)求与底面所成角的大小;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年福建省高三12月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,四棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.
(Ⅰ)求与底面所成角的大小;
(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年河北省高三高考压轴模拟考试文数 题型:解答题
(本小题12分)如图,四棱锥中,
侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.
(1)求与底面所成角的大小;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的余弦值.
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