Question

如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且

BF

=2

FA

，若DE是圆A中绕圆心A转动的一条直径，则

FD

•

FE

的值是

-

8

9

．

Answer 1

分析：利用向量的运算法则将

FD

，

FE

分别用

FA

，

AD

与

FA

，

AE

表示，利用向量的运算律求出数量积的值即可求出所求．

解答：解：∵

FD

=

FA

+

AD

，

FE

=

FA

+

AE

，
∴

FD

•

FE

=（

FA

+

AD

）（

FA

+

AE

）
=

FA

2+

FA

•（

AD

+

AE

）+

AD

•

AE

，
∵

BF

=2

FA

，DE是圆A中绕圆心A转动的一条直径，
∴

AD

+

AE

=

0

，

AD

•

AE

=-1，|

FA

|=

1

3

|

AB

|=1
∴

FD

•

FE

=

1

9

+0-1=-

8

9

．
故答案为：-

8

9

．

点评：求向量的数量积，一般应该先将各个未知的向量利用已知向量线性表示，再利用向量的运算律展开，转化为已知向量的数量积求出值．属于中档题．