Question

已知数列a_n满足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）由（1）猜想a_n的通项公式，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）由题设条件得an+1=

9-2an

4-an

=2-

1

an-4

，由此能够求出a₁，a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想an=

6n-5

2n-1

，然后用数学归纳法进行证明．

解答：解：（1）由4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9得an+1=

9-2an

4-an

=2-

1

an-4

，
求得a2=

7

3

，a3=

13

5

，a4=

19

7

（3分）
（2）猜想an=

6n-5

2n-1

（5分）
证明：①当n=1时，猜想成立．（6分）
②设当n=k时（k∈N+）时，猜想成立，即ak=

6k-5

2k-1

，（7分）
则当n=k+1时，有ak+1=2-

1

ak-4

=2-

1

6k-5 2k-1 -4

=

6k+1

2k+1

=

6(k+1)-5

2(k+1)-1

，
所以当n=k+1时猜想也成立（9分）
③综合①②，猜想对任何n∈N+都成立．（10分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法的证明过程．