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【题目】三棱锥PABC.ABBC,△PAC为等边三角形,二面角PACB的余弦值为,当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为8π.则三棱锥体积的最大值为( )

A.1B.2C.D.

【答案】D

【解析】

由已知作出图象,找出二面角的平面角,设出ABBCAC的长,即可求出三棱锥的高,然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值(用含有AC长度的字母表示),再设出球心O,由球的表面积求得半径,根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系求得AC的长度,则三棱锥体积的最大值可求.

如图所示,过点PPE⊥面ABC,垂足为E,过点EEDACAC于点D,连接PD

则∠PDE为二面角PACB的平面角的补角,即有cosPDE

易知AC⊥面PDE,则ACPD,而△PAC为等边三角形,

DAC中点,

AB=aBC=bACc

PE=PDsinPDEc

故三棱锥PABC的体积为:Vab

当且仅当a=b时,体积最大,此时BDE共线.

设三棱锥PABC的外接球的球心为O,半径为R

由已知,R2=,得R.

过点OOFPEF,则四边形ODEF为矩形,

ODEFED=OF=PDcosPDEPE

RtPFO中,(2,解得c2.

∴三棱锥PABC的体积的最大值为:.

故选:D.

练习册系列答案
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【题目】某市《城市总体规划(年)》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈全覆盖的目标,从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈指标体系,并依据“15分钟社区生活圈指数高低将小区划分为:优质小区(指数为、良好小区(指数为0.4-0.63、中等小区(指数为0.2~0.4)以及待改进小区(指数为0-0.2)4个等级.下面是三个小区4个方面指标值的调查数据:

注:每个小区”15分钟社区生活圈指数其中为该小区四个方面的权重,为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为之间的一个数值)

现有100个小区的“15分钟社区生活圈指数数据,整理得到如下频数分布表:

1)分别判断ABC三个小区是否是优质小区,并说明理由;

2)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样,抽取10个小区进行调查,若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查,记这2个小区中为优质小区的个数为ζ,求ζ的分布列及数学期望.

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【题目】万众瞩目的第14届全国冬季运动运会(简称“十四冬”)于2020216日在呼伦贝尔市盛大开幕,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如图频数分布直方图:

1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”,否则定义为“非冰雪迷”,请根据频率分布直方图补全列联表;并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关;

2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,求的分布列与数学期望.

附表及公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【题目】已知函数 =2.718………),

(I) 当时,求函数的单调区间;

(II)当时,不等式对任意恒成立,

求实数的最大值.

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【题目】设函数

,曲线

过点

,且在点

处的切线方程为

.

(1)求

的值;

(2)证明:当

时,

(3)若当

时,

恒成立,求实数

的取值范围.

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【题目】已知函数.

(Ⅰ)若函数有两个零点,求a的取值范围;

(Ⅱ)恒成立,求a的取值范围.

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【题目】已知为坐标原点,为坐标平面内动点,且成等差数列.

1)求动点的轨迹方程;

2)设点的轨迹为曲线,过点作直线交两点(不与原点重合),是否存在轴上一定点,使得_________.若存在,求出定点,若不存在,说明理由.从“①作点关于轴的对称点,则三点共线;②”这两个条件中选一个,补充在上面的问题中并作答(注:如果选择两个条件分别作答,按第一个解答计分)

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1)求的分布列及数学期望;

2)按(1)中的结果,若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是,计算出现这种情况的概率(假定小明家每个人排序相互独立).

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1)以上述样本数据中频率作为概率,现一顾客从该果园购买了30个苹果,求这30个苹果中重量在内的个数的数学期望;

2)小张的网店为了进行苹果的促销,推出了买苹果,送福袋的活动,买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏.该游戏的规则如下:买家点击抛掷一枚特殊的骰子,每次抛掷的结果为12,且这两种结果的概率相同;从出发格(第0格)开始,每掷一次,按照抛掷的结果,按如图2所示的路径向前行进一次,若掷出1点,即从当前位置向前行进一格(从第格到第格,),若掷出2点,即从当前位置向前行进两格(从第格到第格,),行进至第3l格(获得福袋)或第32格(谢谢惠顾),游戏结束.设买家行进至第格的概率为

(ⅰ)求,并写出用表示的递推式;

(ⅱ)求,并说明该大学生网店推出的此款游戏活动,是更有利于卖家,还是更有利于买家.

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