已知函数图像上点处的切线与直线平行(其中),
(I)求函数的解析式;
(II)求函数上的最小值;
(III)对一切恒成立,求实数的取值范围。
(I) (II) .
(III)实数的取值范围为.
解析试题分析:(I)由点处的切线方程与直线平行,得该切线斜率为2,即
又所以 4分
(II)由(I)知,显然当所以函数上单调递减.当时,所以函数上单调递增,
①
②时,函数上单调递增,
因此 7分
所以 10分
(III)对一切恒成立,又
即设
则由
单调递增,
单调递减,
单调递增,
所以
因为对一切恒成立,
故实数的取值范围为 14分
考点:导数的几何意义,直线方程,应用导数研究函数的单调性及极(最)值,不等式恒成立问题。
点评:难题,本题(1)较为简单,主要利用“曲线切线的斜率,等于在切点的导函数值”。本题(2)主要利用“在给定区间,导函数值非负,函数为增函数;导函数值非正,函数为减函数”,研究函数的单调区间。(3)作为不等式恒成立问题,通过构造函数,研究函数的单调性、极值(最值),使问题得到解决。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数
(Ⅰ)若,求函数的极小值;
(Ⅱ)设函数,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等,若存在,请求出的范围,若不存在,请说明理由?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值;
(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.
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