Question

已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（0）=0；
（2）若f（x）是奇函数，试举出两个这样的函数；
（3）若当x≥0时，f（x）＜0，
1）试判断函数f（x）在R上的单调性，并证明之；
2）判断函数|f（x）|=a．所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围；

Answer 1

分析：（1）令令x=y=0，代入恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）即可求得．
（2）此恒等式对应的函数可以举出两个没有常数项的一次函数．
（3）可由定义法证明，其步骤是先取值，再作差，由于函数是一抽象函数，判断差的符号时要注意题设中条件x≥0时，f（x）＜0的使用，由此先取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，由作差证明即可．

解答：解：（1）令x=y=0．则f（0）=f（0）+f（0）所以f（0）=0
（2）令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x）
即f（-x）=-f（x）
故f（x）为奇函数；
例如：y=-2x，y=3x；
（3）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，故 f（x₂-x₁）＜0
又有题设知 f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0
则该函数f（x₂）＜f（x₁）
所以该函数f（x）为（-∞，+∞）单调减函数
2）由f（x+y）=f（x）+f（y）以及①的结论，③的题设当x≥0时，f（x）＜0知
x＜0时，（x）＜0
又由1）知函数f（x）为（-∞，+∞）单调减函数故知f（x）在（-∞，0]上减，在[0，+∞）上增且f（0）=0
故有：
当a＞0时，有两解；
当a=0时，有一解；
当a＜0时，无解；

点评：本题考点是抽象函数及其运用，考查灵活赋值求函数值以及运用恒等式灵活变形证明函数的单调性，利用复合函数的单调性判断方程的根的个数，本题涉及到的考点较多，知识性与技巧性都很强，是知识完善结合的一个好题．