Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别是AC，AB上的中点，
将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，作A₁F⊥CD，垂足为F，如图2．
（1）求证：DE∥平面A₁CB；
（2）求证：A₁F⊥BE；
（3）若∠A=45°，AC=2，在线段CD上是否存在点F，使得二面角A₁-BE-F为45°．若存在，则指出点F的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由D，E分别是AC，AB上的中点，结合中位线定理和线面平行的判定定理可得结论；
（2）由已知易得对折后DE⊥平面A₁DC，即DE⊥A₁F，结合A₁F⊥CD可证得A₁F⊥平面BCDE，再由线面垂直的性质可得结论
（3）过F作FG垂直BE交BE于点G，高DF=x，根据A₁F=FG，可构造关于x的方程，解方程求出x值即可确定F的位置．

解答：证明：（1）∵D，E分别是AC，AB上的中点
∴DE∥BC
又∵DE?平面A₁CB，BC?平面A₁CB；
∴DE∥平面A₁CB；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC⊥BC
又由DE∥BC
∴AC⊥DE
即DE⊥A₁D，DE⊥CD
又∵A₁D∩CD=D，A₁D，CD?平面A₁DC
∴DE⊥平面A₁DC
又∵A₁F?平面A₁DC
∴DE⊥A₁F
又∵A₁F⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE?平面BCDE；
∴A₁F⊥平面BCDE
又∵BE?平面BCDE
∴A₁F⊥BE；
（3）过F作FG垂直BE交BE于点G，高DF=x，
∵∠A=45°，AC=2，二面角A₁-BE-F为45°．
则A₁F=

1-x2

，FG=

1+x

2

∵A₁F=FG
∴

1-x2

=

1+x

2

解x=

1

3

∴AC上存在点F，点F在距离C点距离为

2

3

处

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法，其中熟练掌握空间线面关系的判定及性质，会将空间问题转化为平面问题是解答本题的关键．