Question

已知各项为正数的等比数列{a_n}（n∈N^*）的公比为q（q≠1），有如下真命题：若

n1+n2

2

=p，则(an1•an2)

1

2

=ap（其中n₁、n₂、p为正整数）．
（1）若

n1+n2

2

=p+

1

2

，试探究(an1•an2)

1

2

与a_p、q之间有何等量关系，并给予证明；
（2）对（1）中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）根据若

n1+n2

2

=p+

1

2

可知n₁+n₂=2p+1，再根据a_n的通项公式代入(an1•an2)

1

2

中，进而可得(an1•an2)

1

2

=apq

1

2

，答案可得．
（2）若an1，an2，，anm是公比为q的等比数列{a_n}的任意m项，
假设

n1+n2++nm

m

=p+

r

m

(m、p∈N*，r∈N，0≤r＜m)时，再由（1）中结论可推断可得一真命题；
假设

n1+n2++nm

m

=p+

t

s

(m、p∈N*，s、t互素）时，同样可得一真命题．

解答：解：（1）因为

n1+n2

2

=p+

1

2

，所以n₁+n₂=2p+1，又a_n=a₁q^n-1(an1•an2)

1

2

=(

a

2 1

•qn1+n2-2)

1

2

=(

a

2 1

•q(2p-2)+1)

1

2

=(

a

1

•qp-1)q

1

2

=apq

1

2

即(an1•an2)

1

2

=apq

1

2

（2）若an1，an2，，anm是公比为q的等比数列{a_n}的任意m项，则存在以下真命题：
①若

n1+n2++nm

m

=p+

r

m

(m、p∈N*，r∈N，0≤r＜m)，则有(an1•an2••an3)

1

m

=apq

r

m

成立．
②若

n1+n2++nm

m

=p+

t

s

(m、p∈N*，s、t互素），则有(an1•an2••an3)

1

m

=apq

t

s

成立．

点评：本题主要考查了等比数列的性质．考查学生根据已知结论分析问题和解决问题的能力．