Question

13．已知曲线C的极坐标是ρ=4，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，又直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2t}\\{y=-5+t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出曲线C与直线l的普通方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$得到曲线C′，在曲线上找一点，使这一点到直线l的距离最短，并求出该点坐标．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，能求出曲线C的直角坐标方程，消去参数，能求出直线l的普通方程．
（2）先求出线C′参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，设P（4cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ）是曲线C′上一点，由此利用点到直线的距离公式能求出点到直线l的距离最短时该点坐标．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标是ρ=4，∴ρ²=16，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=16，
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2t}\\{y=-5+t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数，得直线l的普通方程为x-2y-12=0．
（2）∵曲线C经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$得到曲线C′，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{'}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}{y}^{'}}\end{array}\right.$，∴曲线C′为：x^'2+$\frac{4}{3}{{y}^{'}}^{2}$=16，
∴曲线C′为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，其参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜2π，
∴设P（4cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ）是曲线C′上一点，
P到直线l的距离：d=$\frac{|4cosθ-4\sqrt{3}sinθ-12|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}|8sin（θ+\frac{5π}{6}）-12|$，
∴当θ=$\frac{2π}{3}$时，点P到直线l的距离最短，最短值为d_min=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
此时，x=4cos$\frac{2π}{3}$=-2，y=2$\sqrt{3}$sin$\frac{2π}{3}$=3，∴点到直线l的距离最短时该点坐标P（-2，3）．

点评 本题考查极坐标、直角坐标、点到直线的距离最短时点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．