精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2011•江苏二模)已知m,n∈R,且m+2n=2,则m•2m+n•22n+1的最小值为
4
4
分析:先根据等式将n消去,构造函数f(m)=m•2m+n•22n+1=m•2m+(2-m)•22-m,然后讨论m,研究函数的单调性求出最小值即可.
解答:解:∵2n=2-m
∴f(m)=m•2m+n•22n+1=m•2m+(2-m)•22-m
令g(m)=m•2m,h(m)=(2-m)•22-m
当m≤0时,h(m)为增函数,且h(m)≥h(0)=8
g(m)=-|m|•2-|m|由于从y=x与y=2x的图象易知,|m|≤2|m|,所以|m|•2-|m|≤1,
g(m)=-|m|•2-|m|≥-1
f(m)=g(m)+h(m)≥-1+8=7
当m≥2时,由g(m)与h(m)关于x=1对称,同上可得f(m)≥7
当 0<m<2时,g(0)=h(2)=0,g(2)=h(0)=8
g'(m)=(mln2+1)2m>0,h'(m)=-[(2-m)ln2+1]22-m<0 且g'(m),h'(m)均为单调递增
当0<m<1时,g'(m)<g'(1)=2(ln2+1),h'(m)<h(1)=-2(2ln2+1),
f′(m)=g'(m)+h'(m)<0单调递减
当1≤m<2时,同理,可得f′(m)=g'(m)+h'(m)≥g'(1)+h'(1)=0单调递增(当m=1时等号成立)
所以当m=1时,f(m)取最小值,
即当m=1,n=
1
2
时,m•2m+n•22n+1的最小值为4
故答案为:4
点评:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,同时考查了分类讨论的数学思想和转化的思想,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•江苏二模)如图,是一个数表,第一行依次写着从小到大的正整数,然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方,得到下一行,数表从上到下与从左到右均为无限项,则这个数表中的第13行,第10个数为
216(或者65536)
216(或者65536)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•江苏二模)在如图所示的流程图中,输出的结果是
20
20

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•江苏二模)若复数z的轭复数为-3+i,则|z|=
10
10

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•江苏二模)已知数列{an}为等差数列,a1+a2+a3=6,a7+a8+a9=24,则a4+a5+a6=
15
15

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•江苏二模)已知方程(
1
2
x=x
1
3
的解x∈(
1
n+1
1
n
),则正整数n=
2
2

查看答案和解析>>

同步练习册答案