Question

【题目】已知函数f（x）= ，g（x）=﹣2xln（1+ ）﹣lnf（x）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，函数g（x）在定义域内是否存在零点？如果存在，求出该零点；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，f′（x）= = =

①a=0时，f（′（x）=2× ，可得x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，

此时f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减．

②a＞0时，令f′（x）=0，x=1或x=﹣ ，可得x∈（﹣ ，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）∪（﹣∞，﹣ ），f′（x）＜0，

此时f（x）在（﹣ ，1）递增，在（﹣ ），（1，+∞）递减．

③a＜0时，令f′（x）=0，x=1或x=﹣ ，

0＞a＞﹣2时，﹣ ，此时f（x）在（﹣∞，1），（﹣ ）递增，在（1，﹣ ）递减．

a＜﹣2时，1 ，此时f（x）在（﹣∞，﹣ ），（1，+∞）递增，在（﹣ ，1）递减．

a=﹣2时．此时f（x）在（﹣∞，+∞）递增．

（Ⅱ）当a=0时，函数g（x）在定义域内不存在零点，理由如下：

a=0时，函数g（x）=﹣2xln ﹣ln =﹣2xln（x+1）+2xlnx﹣ln ，（x＞ ）．

函数g（x）在定义域内是否存在零点函数G（x）=﹣2xln（x+1）+2xlnx与R（x）=ln ，（x＞ ）是否有交点．

一方面：由（Ⅰ）知y= 在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，可得R（x）=ln ，（x＞ ）在（ ，1）递增，在（1，+∞）递减

且x→ ，R（x）→﹣∞，x→+∞，R（x）→﹣∞，R（1）=﹣2＜0

另一方面：G′（x）=2[lnx﹣ln（x+1）+ ]，G″（x）=2[ ﹣ ]＞0在（ ）恒成立．

∴G′（x）在（ ）递增，而G′（ ）=2（﹣ln3+ ）＜0，x→+∞时，G（x）→0，∴G′（x）＜0．

∴函数G（x）在（ ）递减，G（ ）=﹣ln3＜0．

由此可以在同一坐标系画出两函数，如下：

结合图象可得，当a=0时，函数g（x）在定义域内不存在零点

【解析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，f′（x）= ，分①a=0，②a＞0，③a＜0讨论其单调性．（Ⅱ）a=0时，函数g（x）=﹣2xln ﹣ln =﹣2xln（x+1）+2xlnx﹣ln （x＞ ），函数g（x）在定义域内是否存在零点函数G（x）=﹣2xln（x+1）+2xlnx与R（x）=ln ，（x＞ ）是否有交点．分别讨论两函数的单调性，画出图象，结合图象求解．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．