光在某处的照度与光源的强度成正比,与光源距离的平方成反比.强度分别为8,1的两个光源A,B间的距离为6,在线段AB(除去端点)上有一点P,设PA=x.
(1)求x的值,使光源A与光源B在点P产生相等的照度;
(2)若“总照度”等于各照度之和.
①求出点P的“总照度”I(x)的表达式;
②求最小“总照度”与相应的x值.
分析:(1)先根据题意先表示出点P受光源A的照度和受光源B的照度再根据光源A与光源B在点P产生相等的照度建立方程,解之即可求出所求;
(2)①点P的“总照度”I(x)的表达式根据若“总照度”等于各照度之和建立即可;
②利用导数先研究函数的极值,然后根据函数的单调性求出函数的最小值即可.
解答:解:(1)由题意知,点P受光源A的照度为
,受光源B的照度为
,其中k为比例常数;
∵光源A与光源B在点P产生相等的照度,
∴
=
,
由0<x<6,得x=2
(6-x),
∴x=
;
(2)①点P的“总照度”I(x)=
+
(0<x<6),
②由I′(x)=-
+
,且I'(x)=0,解得x=4.
所以,0<x<4时,I'(x)<0,I(x)在(0,4)上单调递减;
当4<x<6时,I(x)<0,I(x)在(4,6)上单调递增;
因此,=4时,I(x)取得最小值为
.
点评:本题主要考查了函数模型的选择与应用,同时考查了函数的最值的求解,导数法求函数最值是常用的方法,属于中档题.