精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
定义在[﹣1,1]上的奇函数f(x)满足f(1)=2,且当a,b∈[﹣1,1],a+b≠0时,有
(1)试问函数f(x)的图象上是否存在两个不同的点A,B,使直线AB恰好与y轴垂直,若存在,求出A,B两点的坐标;若不存在,请说明理由并加以证明.
(2)若对所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
(1)详见解析;(2)

试题分析:(1)假设函数的图象上存在两个不同的点,使直线恰好与轴垂直,设的横坐标为,且,然后证得;推出函数上是增函数,这与这与假设矛盾,可得假设不成立,命题得证.
(2)由题意可得函数的最大值小于或等于,结合(1)的过程,可求出其最大值,即整理的:.令关于的一次函数g(a)=m2+2am,则有,由此求得m的范围.
试题解析:解:(1)假设函数f(x)的图象上存在两个不同的点A,B,使直线AB恰好与y轴垂直,
则A、B两点的纵坐标相同,设它们的横坐标分别为 x1和x2,且x1<x2
则f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)=[x1+(﹣x2)].
由于 >0,且[x1+(﹣x2)]<0,∴f(x1)﹣f(x2)<0,
故函数f(x)在[﹣1,1]上是增函数.
这与假设矛盾,故假设不成立,即 函数f(x)的图象上不存在两个不同的点A,B,使直线AB恰好与y轴垂直.
(2)由于 对所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,
∴故函数f(x)的最大值小于或等于2(m2+2am+1).
由于由(1)可得,函数f(x)是[﹣1,1]的增函数,故函数f(x)的最大值为f(1)=2,
∴2(m2+2am+1)≥2,即 m2+2am≥0.
令关于a的一次函数g(a)=m2+2am,则有
解得 m≤﹣2,或m≥2,或 m=0,故所求的m的范围是{m|m≤﹣2,或m≥2,或 m=0}.
考点:
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值;
(2)设,其中,判断方程在区间 上的解的个数(其中为无理数,约等于且有).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

某公司承建扇环面形状的花坛如图所示,该扇环面花坛是由以点为圆心的两个同心圆弧、弧以及两条线段围成的封闭图形.花坛设计周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为米(),圆心角为弧度.

(1)求关于的函数关系式;
(2)在对花坛的边缘进行装饰时,已知两条线段的装饰费用为4元/米,两条弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为,当为何值时,取得最大值?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

科学研究证实,二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A市2013年的碳排放总量为400万吨,通过技术改造和倡导低碳生活等措施,此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m万吨(m>0).
(1)求A市2015年的碳排放总量(用含m的式子表示);
(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出144件. 如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位:元,)的平方成正比.
已知商品单价降低2元时,一星期多卖出8件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知函数,若
,则=(   )
A.2B.4C.8D.随值变化

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

己知集合M={﹣1,1,2,4}N={0,1,2}给出下列四个对应法则,其中能构成从M到N的函数是(  )
A.y=x2B.y=x+1C.y=2xD.y=log2|x|

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设f(x)=,求f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

函数的最小值为_____

查看答案和解析>>

同步练习册答案