Question

已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+3（m+2）x+1，其中m∈R．
（I）若m＜0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在（I）的条件下，当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=mx³-（3m+2）x²+3mx+4lnx+m+1，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由函数的解析式，求出导函数的解析式，结合m＜0，确定导函数的零点，即原函数的极值点，并分析出函数的单调区间；
（II）根据已知可得不等式f'（x）＞3m恒成立，结合m＜0及二次函数的图象和性质，可得m的取值范围；
（Ⅲ）若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点，则φ（x）=g（x）-f（x）与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点，利用导数法分析函数的单调性，可得满足条件的m的值．
解答：解：（I）∵f（x）=mx³-3（m+1）x²+3（m+2）x+1，
∴f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=…（2分）
当m＜0时，有，
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化如下表：

x				1	（1，+∞）
f'（x）	＜0		＞0		＜0
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

…（4分）
故有上表知，
当m＜0时，f（x）
在单调递减，
在单调递增，
在（1，+∞）上单调递减．…（5分）
（Ⅱ）由已知得f'（x）＞3m，
即mx²-2（m+1）x+2＞0
又m＜0，
所以（x∈[-1，1]） ①…（6分）
设，
其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
∴…（8分）
解之得
又m＜0所以m的取值范围为…（9分）
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x），
则φ（x）=x²-6x+4lnx+m
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，
则函数φ（x）=x²-6x+4lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
∴
当x∈（0，1）时，ϕ′（x）＞0，ϕ（x）是增函数；
当x∈（1，2）时，ϕ′（x）＜0，ϕ（x）是减函数
当x∈（2，+∞）时，ϕ′（x）＞0，ϕ（x）是增函数
∴φ（x）有极大值φ（1）=m-5；
φ（x）有极小值φ（2）=m+4ln2-8…（12分）
又因为当x充分接近0时，φ（x）＜0；当x充分大时，φ（x）＞0
所以要使ϕ（x）=0有且仅有两个不同的正根，
必须且只须
即，
∴m=5或m=8-4ln2．
∴当m=5或m=8-4ln2时，
函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点．…（14分）
点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程，熟练掌握导数在研究函数单调性和极值的方法和步骤是解答的关键．