Question

【题目】如图，在四棱锥中，，底面为边长为的菱形，且.

（1）证明：；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，取的中点，连接、，通过证明出平面得出；

（2）先证明出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的法向量，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值.

（1）连接，因为底面是菱形，且，所以为等边三角形，

取中点，连接、，所以，且，所以，

，所以平面，平面，所以；

（2）因为，且，所以，所以，，

，所以，

又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则、、、，

则，，，

设平面的法向量为，

则，令，则，，则，

设与平面所成角为，则.

因此，直线与平面所成角的正弦值为.