Question

（2013•绵阳二模）设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos²x+2sinx-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f(x)=2a|x-

1

2

|有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）配凑法：f（sinx）=2sin²x-1+1-sin²x+2sinx-3=sin²x+2sinx-3，由此可得f（x）；
（Ⅱ）先验证当x=

1

2

时方程f(x)=2a|x-

1

2

|是否有解，再把方程化为2a=

f(x)

|x- 1 2 |

，此时只需求出

f(x)

|x- 1 2 |

的值域即可，分类讨论：①当-1≤x＜

1

2

时，②当

1

2

＜x≤1时，可求出其值域．

解答：解：（Ⅰ）f（sinx）=2sin²x-1+1-sin²x+2sinx-3=sin²x+2sinx-3，
所以f（x）=x²+2x-3（-1≤x≤1）．
（Ⅱ）①当x=

1

2

时，f(

1

2

)≠0，不成立．
②当-1≤x＜

1

2

时，x-

1

2

＜0，
令t=

1

2

-x，则x=

1

2

-t，0＜t≤

3

2

，2a=

( 1 2 -t)2+2( 1 2 -t)-3

t

=t-

7

4t

-3，
因为函数h(t)=t-

7

4t

-3在(0，

3

2

]上单增，所以2a≤h(

3

2

)=-

8

3

⇒a≤-

4

3

．
③当

1

2

＜x≤1时，x-

1

2

＞0，
令t=x-

1

2

，则x=

1

2

+t，0＜t≤

1

2

，2a=

( 1 2 +t)2+2( 1 2 +t)-3

t

=t-

7

4t

+3，
因为函数g（t）=t-

7

4t

+3在(0，

1

2

]上单增，所以2a≤g（

1

2

）=0⇒a≤0．
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]．

点评：本题考查函数解析式的求解及函数零点问题，考查学生分析问题解决问题的能力．