Question

6．已知一个三棱柱ABC-A′B′C′的三视图由一个直角三角形和两个矩形组成，如图若M，N分别是A′C′，BC的中点．
（1）求证：MN∥平面ABB′A′；
（2）求直线MN和面BCC′B′所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取B′C′的中点P，连结MP，NP，由已知条件推导出平面PMN∥平面ABB′A′，由此能证明MN∥平面ABB′A′．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MN和面BCC′B′所成的角的正弦值．

解答 （1）证明：取B′C′的中点P，连结MP，NP，
∵M，N分别是A′C′，BC的中点，
∴MP∥A′B′，PN∥BB′，
∵MP∩PN=P，∴平面PMN∥平面ABB′A′，
∵MN?平面PMN，∴MN∥平面ABB′A′．
（2）解：∵三棱柱ABC-A′B′C′的三视图由一个直角三角形和两个矩形组成，
∴由三视图知∠ABC=90°，AA′⊥面ABC，AA′=2，AB=1，AC=2，
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，0，0），C（0，2，0），M（0，1，2），N（$\frac{1}{2}$，1，0），B′（1，0，2），
$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{2}$，0，-2），$\overrightarrow{BC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{B{B}^{'}}$=（0，0，2），
设平面BCC′B′的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}^{'}}=2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，0），
设直线MN和面BCC′B′所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{4}}•\sqrt{5}}$|=$\frac{2\sqrt{85}}{85}$．
∴直线MN和面BCC′B′所成的角的正弦值为$\frac{2\sqrt{85}}{85}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．