Question

10．已知0＜a＜1，试比较|1-3a|与2a$\sqrt{a}$的大小．

Answer 1

分析 由|1-3a|＞0，2a$\sqrt{a}$＞0，分别平方，构造函数f（a）=4a³-9a²+6a-1，通过求导得到函数的值域，通过讨论a的范围，从而比较大小．

解答 解：∵0＜a＜1，|1-3a|＞0，2a$\sqrt{a}$＞0，
∴|1-3a|²=9a²-6a+1，${（2a\sqrt{a}）}^{2}$=4a³，
令f（a）=4a³-9a²+6a-1，f′（a）=6（2a-1）（a-1），
令f′（a）＞0，解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，令f′（a）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜a＜1，
∴函数f（a）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，1）递减，
∴f（a）_最大值=f（a）_极大值=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
而f（0）=-1，f（1）=0，f（$\frac{1}{4}$）=0，
∴0＜a＜$\frac{1}{4}$时，f（a）＜0，∴|1-3a|＞2a$\sqrt{a}$，
a=$\frac{1}{4}$时，|1-3a|=2a$\sqrt{a}$，
$\frac{1}{4}$＜a＜1时，f（a）＞0，∴|1-3a|＜2a$\sqrt{a}$．

点评 本题考查了比较大小的问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．