Question

根据下列条件，求数列的通项公式a_n．
（1）a₁=4，a_n+1=

n+2

n

a_n；
（2）a₁=-1，a_n+1=a_n+2n；
（3）a₁=1，a_n+1=2a_n+1．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用累积法进行求解；
（2）利用累加法进行求解；
（3）利用构造法进行求解．

解答： 解：（1）∵a₁=4，a_n+1=

n+2

n

a_n，
∴

an+1

an

=

n+2

n

，
则

a2

a1

=

3

1

，

a3

a2

=

4

2

，…

an

an-1

=

n+1

n-1

，
两式相乘得

an

a1

=

3

1

•

4

2

•

5

3

…

n+1

n-1

=

n(n+1)

1×2

=

n(n+1)

2

，
则a_n=

n(n+1)

2

×4=2n（n+1）．
（2）∵a₁=-1，a_n+1=a_n+2n；
∴a_n+1-a_n=2n；
则a₂-a₁=2，a₃-a₂=4，a₄-a₃=6，…a_n-a_n-1=2（n-1），
两式相加得a_n-a₁=2+4+…+2（n-1）=

(2+2n-2)×(n-1)

2

=n（n-1），
则a_n=a₁+n（n-1）=n（n-1）+4；
（3）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴1+a_n+1=2（a_n+1）．
即数列{a_n+1}是首项为a₁+1=2，公比q=2的等比数列．
故a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
则a_n=2ⁿ-1．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列递推式的特点适当选择合适的方法是解决本题的关键．