Question

已知数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和Sn，满足：．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（II）设，①求数列{b_nc_n}前n项的和Tn，②求数列前n项的和A_n．

Answer 1

解：（I）因为a_n=（n≥2，n∈N^*），
所以，设，
则d_n-d_n-1=n（n≥2，n∈N^*），d₁=1，
由累加法可得：，故
∵ ①，∴ ②
②-①得=b_n+1，∴b_n+1=-2b_n
把n=1代入①式可得b₁=-2，
∴
（II）由（I）可知==n
①b_nc_n=n•（-2）ⁿ
∴n•（-2）ⁿ
-2n•（-2）ⁿ⁺¹
两式相减得：（-2）ⁿ-n•（-2）ⁿ⁺¹
==
故所求数列的前n项和为：
②∵sin1=sin[（n+1）-n]=sin（n+1）cosn-cos（n+1）sinn
∴==
=
故所求数列的前n项和为：
A_n=[（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+（tan（n+1）-tann）]
=[tan（n+1）-tann]
分析：（I）把式子变形，构造数列{dn}由累加法可得a_n，由数列的通项和前n想和的关系可得b_n；
（II）①由数列{b_nc_n}的特点，用错位相减法可求和，②式子可化为，下面用裂项相消法可得答案．
点评：本题为数列的综合应用，涉及累加法，错位相减法，裂项相消法，属中档题．