Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁＝2，且a₂，a₃，a₄＋1成等比数列．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n＝a_n＋2a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n.

Answer 1

（1）a_n＝2n.
（2）S_n＝n²＋n＋ (4ⁿ－1).

解：(1)设数列{a_n}的公差为d，由a₁＝2和a₂，a₃，a₄＋1成等比数列，得
(2＋2d)²＝(2＋d)(3＋3d)，
解得d＝2或d＝－1.
当d＝－1时，a₃＝0，与a₂，a₃，a₄＋1成等比数列矛盾，舍去．
∴d＝2.
∴a_n＝a₁＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，
即数列{a_n}的通项公式为a_n＝2n.
(2)∵b_n＝2n＋2²ⁿ＝2n＋4ⁿ，
∴S_n＝(2＋4¹)＋(4＋4²)＋…＋(2n＋4ⁿ)＝(2＋4＋…＋2n)＋(4¹＋4²＋…＋4ⁿ)＝＋＝n²＋n＋ (4ⁿ－1).