Question

某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工2m人（60＜m＜500，且m为10的整数倍），每人每年可创利100千元．据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．问：为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

Answer 1

分析：欲求获得最大的经济效益时，该公司的裁员人数．分情况求出0＜x≤

1

5

×2m和

2

5

m≤x≤

1

4

×2m两种情况下函数的解析式，列出分段函数；分别对分段函数进行参数的讨论，最后得出裁员的最佳人数．

解答：解：设公司裁员人数为x，获得的经济效益为y元，
则由题意得当0＜x≤

1

5

×2m时．y=(2m-x)(100+x)-20x（2分）当

2

5

m≤x≤

1

4

×2m时，y=(2m-x)(100+2x)-20x（4分）
∴y=

-[x2-2(m-60)x]+200m，0＜x≤ 2 5 m且x∈N -2[x2-2(m-30)x]+200m 2 5 m＜x≤ 1 2 m，x∈N

，
由①得对称轴x=m-60＞0，当0＜m-60≤

2

5

m，即60＜m≤100时，x=m-60时，y取得最大值y1=m2+80m+3600
当m＞100时，x=

2

5

m时，y取得最大值y2=0.64m2+152m（8分）
由②得对称轴x=m-30，∵60＜m＜500，∴m-30＞

1

2

m，
∵当x=

m

2

时，y取得最大值y3=1.5m2+140m
∵当60＜m≤100时，y₃-y₁=0.5m²+60m-3600
=0.5（m+60）²-5400＞0.5×120²-5400
=1800＞0当100＜m＜500时，
y₃-y₂=0.86m²-12m=m（0.86m-12）＞0，
即当60＜m＜500时，y₃最大即当公司应裁员数为

1

2

m，
即原有人数的

1

4

时，获得的经济效益最大． （16分）

点评：本题考查分段函数的应用，同时考查一元二次函数最值的求法．