Question

已知抛物线P：x²=2py (p>0)．

（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．

（ⅰ）求抛物线的方程；

（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；

（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．

Answer 1

解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，

         即到的距离为3；

         ∴ ，解得．

∴ 抛物线的方程为．                    ………………4分

（ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与y轴交点为，

显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．

由，  消y得，              ………………6分

，解得．                       ………………7分

∴切线方程为．                          ………………8分

（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设：，

设，，

由    消y得 ．   且．

∴ ，；

∵ ， ∴ 直线：，                               

与联立可得， 同理得．……………10分

∵ 焦点，

∴ ，，             ………………12分

∴

∴  以为直径的圆过焦点．                 ………………14分