Question

某飞机制造公司一年中最多可生产某种型号的飞机100架．已知制造x架该种飞机的产值函数为R（x）=3000x-20x²（单位：万元），成本函数C（x）=500x+4000（单位：万元）．利润是收入与成本之差，又在经济学中，函数f（x）的边际利润函数Mf（x）定义为：Mf（x）=f（x+1）-f（x）
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（利润=产值-成本）
（2）问该公司的利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相等的最大值？

Answer 1

分析：（1）利用利润=产值-成本写出：P（x）及MP（x）的表达式即可；
（2）由于由（1）得出：P（x）=-20（x-

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）2+74125（x∈N*，且x∈[1，100]）；下面分类讨论：当x=62或63时，或当x=1时的函数值，最后得出利润函数与边际利润函数不具有相等的最大值的结论即可．

解答：解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=-20x2+2500x-4000（x∈N*，且x∈[1，100]）（3分）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-40x+2480（x∈N*，且x∈[1，100]）；..（6分）
（2）P（x）=-20（x-

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）2+74125（x∈N*，且x∈[1，100]）；．（8分）
则当x=62或63时，P（x）max=74120（元），（10分）
因为MP（x）=-40x+2480为单调砬函数，
则当x=1时，MP（x）max=2440元，
故利润函数与边际利润函数不具有相等的最大值（12分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．