Question

16．解不等式$\frac{4}{（2sinx+1）^{3}}+\frac{5}{2sinx+1}-4si{n}^{3}$x-5sinx＞0．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=4x³+5x，问题转化为f（$\frac{1}{2sinx+1}$）＞f（sinx），由导数法判断函数的单调性可得sinx的不等式，解不等式可得．

解答 解：原不等式可化为：4（$\frac{1}{2sinx+1}$）³+5（$\frac{1}{2sinx+1}$）＞4sin³x+5sinx，
构造函数f（x）=4x³+5x，则f′（x）=12x²+5＞0，
∴函数f（x）=4x³+5x在R上单调递增，
∴不等式可化为f（$\frac{1}{2sinx+1}$）＞f（sinx），
由单调性可得$\frac{1}{2sinx+1}$＞sinx，
整理可得2sin²x+sinx-1＜0，即（sinx+1）（2sinx-1）＜0，
解得-1＜sinx＜$\frac{1}{2}$，由三角函数可得2kπ-$\frac{7π}{6}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{6}$且x≠2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴原不等式的解集为{x|2kπ-$\frac{7π}{6}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{6}$且x≠2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z}

点评 本题考查含三角函数的不等式的解集，转化并利用函数的单调性是解决问题的关键，属中档题．