Question

【题目】已知函数g（x）=|x|+2|x+2﹣a|（a∈R）．
（1）当a=3时，解不等式g（x）≤4；
（2）令f（x）=g（x﹣2），若f（x）≥1在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意得g（x）=|x|+2|x﹣1|≤4

当x≥1时，原不等式化为：x+2（x﹣1）≤4，解得1≤x≤2；

当0≤x＜1时，原不等式化为：x+2（1﹣x）≤4，解得0≤x＜1

当x＜0时，原不等式化为：﹣x+2（1﹣x）≤4，

解得﹣ ≤x＜0．

综上可得，不等式的解集为{x|﹣ ≤x≤2}

（2）解：f（x）=g（x﹣2）=|x﹣2|+2|x﹣a|（a∈R）

a＞2时，f（x）= ；

a=2时，f（x）= ；

a＜2时，f（x）= ；

所以f（x）的最小值为f（2）或f（a）；

则 ，即 所以|a﹣2|≥1，

解得a≤1或a≥3．

【解析】（1）由题意可得g（x）=|x|+2|x﹣1|≤4，讨论当x≥1时，当0≤x＜1时，当x＜0时，去掉绝对值，解不等式即可得到所求解集；（2）求得f（x）=g（x﹣2）=|x﹣2|+2|x﹣a|（a∈R），讨论a=2，a＞2，a＜2，运用分段函数求出f（x），所以f（x）的最小值为f（2）或f（a），由恒成立思想可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．