Question

5．如图，P为⊙O外一点，PC交⊙O于F，C，PA切⊙O于A，B为线段PA的中点，BC交⊙O于D，线段PD的延长线与⊙O交于E，连接FE．求证：
（Ⅰ）△PBD∽△CBP；
（Ⅱ）AP∥FE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由切割线定理得BA²=BD•BC，从而PB²=BD•BC，由此能证明△PBD∽△CBP．
（Ⅱ）由三角形相似得∠BPD=∠C，从而∠BPD=∠E，由此能证明AP∥FE．

解答 （本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】
证明：（Ⅰ）如图，∵PA切⊙O于A，∴BA²=BD•BC，
∵B为线段PA的中点，∴PB=BA，
∴PB²=BD•BC，即$\frac{PB}{BD}=\frac{BC}{PB}$，
∵∠PBD=∠CBP，∴△PBD∽△CBP．…（5分）
（Ⅱ）∵△PBD∽△CBP，∴∠BPD=∠C，
∵∠C=∠E，∴∠BPD=∠E，
∴AP∥FE．…（10分）

点评 本题考查三角形相似的证明，考查两直线平行的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．