Question

13．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）和两条平行线l₁，l₂，l₁过原点O分别交曲线C和C的准线于点P，Q，l₂过曲线C的焦点F，交C于点A，B．
（I）若△OPA的面积为p²，求l₁的斜率；
（Ⅱ）求证：|FA|•|FB|=|OP|•|OQ|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出直线l₁的斜率为k（k≠0），得到直线l₁的方程，联立直线方程和抛物线方程，求出|OP|，再求出F到OP的距离，代入三角形面积公式求得k值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出|OP|•|OQ|为$\frac{（{k}^{2}+1）{p}^{2}}{{k}^{2}}$，写出AB所在直线方程为y=kx-$\frac{kp}{2}$，联立该直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系及抛物线焦半径公式求得|FA|•|FB|=$\frac{（{k}^{2}+1）{p}^{2}}{{k}^{2}}$，则结论得证．

解答 （Ⅰ）解：设直线l₁的斜率为k（k≠0），则直线l₁的方程为y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，解得：P（$\frac{2p}{{k}^{2}}，\frac{2p}{k}$），
∴$|OP|=\sqrt{（\frac{2p}{{k}^{2}}）^{2}+（\frac{2p}{k}）^{2}}=2p\sqrt{\frac{1}{{k}^{4}}+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
A到直线OP的距离等于F到直线OP的距离等于d=$\frac{|\frac{kp}{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$．
∴${S}_{△OPA}=\frac{1}{2}•2p\sqrt{\frac{1}{{k}^{4}}+\frac{1}{{k}^{2}}}•\frac{|kp|}{2\sqrt{{k}^{2}+1}}$=p²．
解得：|k|=$\frac{1}{2}$，k=$±\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）证明：联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{p}{2}}\\{y=kx}\end{array}\right.$，解得：Q（$-\frac{p}{2}，-\frac{kp}{2}$），
∴|OQ|=$\sqrt{\frac{{p}^{2}}{4}+\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}}=\frac{p}{2}\sqrt{{k}^{2}+1}$．
∴|OP|•|OQ|=$2p\sqrt{\frac{1}{{k}^{4}}+\frac{1}{{k}^{2}}}•\frac{p}{2}\sqrt{{k}^{2}+1}=\frac{（{k}^{2}+1）{p}^{2}}{{k}^{2}}$；
AB所在直线方程为y=kx-$\frac{kp}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{kp}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得4k²x²-（4k²p+8p）x+k²p²=0．
∴${x}_{A}+{x}_{B}=\frac{4{k}^{2}p+8p}{4{k}^{2}}=\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$，${x}_{A}{x}_{B}=\frac{{P}^{2}}{4}$．
∴|FA|•|FB|=$|（{x}_{A}+\frac{p}{2}）（{x}_{B}+\frac{p}{2}）|$=$|{x}_{A}{x}_{B}+\frac{p}{2}（{x}_{A}+{x}_{B}）+\frac{{p}^{2}}{4}|$
=|$\frac{{p}^{2}}{4}+\frac{p}{2}•\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}+\frac{{p}^{2}}{4}$|=$\frac{（{k}^{2}+1）{p}^{2}}{{k}^{2}}$．
∴|FA|•|FB|=|OP|•|OQ|．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，是中档题．