[题目]已知数列的通项公式为.求所有的正整数.使得数列的前项能分成两部分.这两部分的和相等. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知数列的通项公式为.求所有的正整数，使得数列的前项能分成两部分，这两部分的和相等.

【答案】

【解析】

易知，为等差数列，且.

要使数列前项能分为和相等的两部分，则能被2整除.

所以，或.

（1）. 则.

由，知从这组数中抽出组作为一部分，其余的为另一部分，可使这两部分的和相等.

（2）. 则.

设第一部分有项，第二部分有项，两部分的和分别为、.

若，则，.

所以，即为3的倍数.

又为奇数，故为奇数.

设. 则，.

又，

，

从而，应满足

当，且时，.

因为，将第1项和第50项交换，所以，两部分的和相等，即将第2项至第50项分为一部分，其余的分为另一部分，则两部分的和相等.

当，且时，可将表示为.

于是，前95项按照划分，后项按照（1）的方法划分. 这样的两部分的和相等.

综上，.

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由，可得，令，利用导数研究其单调性可得

，

从而证明.

试题解析：（（1）由题意，所以，

又，所以，

若，则，与矛盾，故， .

（2）由（1）可知，，

由，可得，

令，

，

令

当时，，单调递减，且；

当时，，单调递增；且，

所以在上当单调递减，在上单调递增，且，

故，

故.

【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法，以及利用导数证明不等式的方法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.

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22

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