Question

一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（　　）

• A、

  4

  5

• B、

  3

  5

• C、

  5

  5

• D、

  2 5

  5

Answer 1

分析：一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，设出底面半径和母线与轴所成角为θ，表示出圆锥的高，根据圆锥体积公式V=

1

3

πR2H，和球的体积公式V=

4

3

πR³，代入即可求得圆锥的母线与轴所成角正弦值．

解答：解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高
H=R•ctgθ
圆锥的体积，
V₁=

1

3

πR2H=

1

3

πR3ctgθ
半球的体积
V₂=

2

3

πR3
∵V1=V2
解得ctgθ=2，∵ctgθ=

cosθ

sinθ

=2，sin²θ+cos²θ=1
解得sinθ=

5

5

．
故选C．

点评：考查圆锥和球的体积公式，及线线角的问题，在计算过程中注意公式的灵活应用，属基础题．