Question

10£®ÒÑÖªÊýÁÐ{a_n}µÄÇ°ÏînºÍΪS_n£¬ÇÒ3S_n=4a_n-4£®ÓÖÊýÁÐ{b_n}Âú×ãb_n=log₂a₁+log₂a₂+¡­+log₂a_n£®
£¨1£©ÇóÊýÁÐ{a_n}¡¢{b_n}µÄͨÏʽ£»
£¨2£©Èô${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+¡­+\frac{1}{b_n}$£¬ÇóʹµÃ²»µÈʽ$k\frac{{n•{a_n}}}{n+1}¡Ý£¨2n-3£©{T_n}$ºã³ÉÁ¢µÄʵÊýkµÄÈ¡Öµ·¶Î§£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÀûÓÃÔÙдһʽ£¬Á½Ê½Ïà¼õµÄ·½·¨ÇóÊýÁÐ{a_n}µÄͨÏʽ¡¢ÀûÓÃÊýÁÐ{b_n}Âú×ãb_n=log₂a₁+log₂a₂+¡­+log₂a_n£¬Çó³ö{b_n}µÄͨÏʽ£»
£¨2£©Èô${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+¡­+\frac{1}{b_n}$£¬ÁÑÏîÇóºÍ£¬²»µÈʽ$k\frac{{n•{a_n}}}{n+1}¡Ý£¨2n-3£©{T_n}$ºã³ÉÁ¢£¬¼´k¡Ý$\frac{2n-3}{{4}^{n}}$ºã³ÉÁ¢£¬¼´¿ÉʵÊýkµÄÈ¡Öµ·¶Î§£®

½â´ð ½â£º£¨1£©ÓÉ3S_n=4a_n-4¿ÉµÃa₁=4£¬
¡ß3S_n=4a_n-4£¬¡à3S_n-1=4a_n-1-4£¬¡à3S_n-3S_n-1=4a_n-4-£¨4a_n-1-4£©£¬
¡à3a_n=4a_n-4a_n-1£¬¼´$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=4$£®
¡àÊýÁÐ{a_n}ÊÇÊ×ÏîΪa₁=4£¬¹«±ÈΪ4µÄµÈ±ÈÊýÁУ¬¡à${a_n}={4^n}={2^{2n}}$£®
ÓÖb_n=log₂a₁+log₂a₂+¡­+log₂a_n=2+4+¡­+2£¨n-1£©+2n=n£¨n+1£©£¬
¡àb_n=n£¨n+1£©£®
£¨2£©${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+¡­+\frac{1}{b_n}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+¡­+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$£¬
²»µÈʽ$k\frac{{n•{a_n}}}{n+1}¡Ý£¨2n-3£©{T_n}$ºã³ÉÁ¢£¬¼´k¡Ý$\frac{2n-3}{{4}^{n}}$ºã³ÉÁ¢£¬
Éèd_n=$\frac{2n-3}{{4}^{n}}$£¬Ôòd_n+1-d_n=$\frac{11-6n}{{4}^{n-1}}$£¬
¡àµ±n¡Ý2ʱ£¬ÊýÁÐ{d_n}µ¥µ÷µÝ¼õ£¬µ±1¡Ün£¼2ʱ£¬ÊýÁÐ{d_n}µ¥µ÷µÝÔö£»
¼´d₁£¼d₂£¾d₃£¾d₄£¾¡­£¬
¡àÊýÁÐ×î´óÏîΪ${d_2}=\frac{1}{16}$£¬¡à$k¡Ý\frac{1}{16}$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÊýÁеÄͼÏ󣬿¼²éÁÑÏî·¨ÇóºÍ£¬¿¼²éºã³ÉÁ¢ÎÊÌ⣬¿¼²éѧÉú·ÖÎö½â¾öÎÊÌâµÄÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮