Question

在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量

m

=(2sin(A+C)，

3

)，

n

=(cos2B，2cos2

B

2

-1)，且向量

m

、

n

共线．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=1，求△ABC的面积V_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）由两向量共线，得到向量的坐标表示列出一个关系式，根据三角形的内角和定理得到A+C=π-B，利用诱导公式化简这个关系式后，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，得到tan2B的值，又三角形为锐角三角形，由B的范围求出2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）根据余弦定理表示出b²=a²+c²-2accosB，把（1）求出的B的度数与b的值代入得到一个关于a与c的式子，变形后，根据基本不等式即可求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式，由ac的最大值及sinB的值，表示出三角形ABC的面积，即为三角形面积的最大值．

解答：解：（1）∵向量

m

、

n

共线，
∴2sin（A+C）（2cos2

B

2

-1）-

3

cos2B=0，又A+C=π-B，
∴2sinBcosB-

3

cos2B，即sin2B=

3

cos2B，
∴tan2B=

3

，
又锐角△ABC，得到B∈（0，

π

2

），
∴2B∈（0，π），
∴2B=

π

3

，故B=

π

6

；
（2）由（1）知：B=

π

6

，且b=1，
根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-

3

ac=1，
∴1+

3

ac=a²+c²≥2ac，即（2-

3

）ac≤1，ac≤

1

2- 3

=2+

3

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

4

ac≤

2+ 3

4

，当且仅当a=c=

6 + 2

2

时取等号，
∴△ABC的面积最大值为

2+ 3

4

．

点评：此题考查了平面向量的数量积的坐标表示，三角函数的恒等变形，余弦定理及三角形的面积公式．学生作第二问时注意利用基本不等式求出ac的最大值是解本题的关键．