Question

△ABC满足

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点，S_△MBC=

1

2

，S_△MCA=x，S_△MAB=y，则

1

x

+

4

y

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：根据题意求得|AC|•|AB|进而利用三角形面积公式求得△ABC的面积，然后根据S_△MBC推断M在三角形中位线上，进而求得S_△MCA+S_△MAB的值，即x+y的值，代入

1

x

+

4

y

中整理成基本不等式的形式，求得其最小值．

解答：解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°
∴|AC|•|AB|=4，
又S△_ABC=

1

2

•AC•AB•sin∠BAC=1  S_△MBC=

1

2

∴M在三角形中位线上
S_△MCA+S_△MAB=x+y=

1

2

，即1=2（x+y） 
∴

1

x

+

4

y

=

2(x+y)

x

+

8(x+y)

y

=10+

2y

x

+

8x

y

≥10+2

2y x • 8x y

=18
故答案为18．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的关键是拼凑出基本不等式的形式．