Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2

3

，E是PB上任意一点．
（I）求证：AC⊥DE；
（II）已知二面角A-PB-D的余弦值为

15

5

，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）证明线线垂直，正弦证明线面垂直，即证AC⊥平面PBD；
（II）分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，用坐标表示点，求得平面PBD的法向量为

n1

=(1，0，0)，平面PAB的法向量为

n2

=(

3

，1，

2 3

t

)，根据二面角A-PB-D的余弦值为

15

5

，可求t的值，从而可得P的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC与平面PAB所成的角．

解答：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC
又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD，∵DE?平面PBD
∴AC⊥DE…（6分）
（II）解：分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，则A(1，0，0)，B(0，

3

，0)，C(-1，0，0)，E(0，0，

t

2

)，P(0，-

3

，t)
由（I）知：平面PBD的法向量为

n1

=(1，0，0)，
令平面PAB的法向量为

n2

=(x，y，z)，则根据

n2 • AB =0 n2 • AP =0

得

-x+ 3 y=0 -x- 3 y+tz=0

∴

n2

=(

3

，1，

2 3

t

)
因为二面角A-PB-D的余弦值为

15

5

，则|cos?

n1

，

n2

＞|=

15

5

，即

3

4+ 12 t2

=

15

5

，∴t=2

3

…（9分）
∴P(0，-

3

，2

3

)
设EC与平面PAB所成的角为θ，
∵

EC

=(-1，0，-

3

)，

n2

=(

3

，1，1)
∴sinθ=|cos?

EC

，

n2

＞|=

2 3

2• 5

=

15

5

…（12分）

点评：本题考查线线垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，利用空间向量解决线面角问题，属于中档题．