Question

设P、Q是函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ为常数）图象上的两点且横坐标分别为-

π

12

、

π

4

，若f（x）图象上存在一个最高点M，使得（

MP

+

MQ

）•

PQ

=0，则下列关系一定成立的是 （　　）

• A、f（

  π

  12

  ）=2
• B、f（

  π

  12

  ）=-2
• C、f（

  π

  5

  ）+f（

  7π

  15

  ）=0
• D、f（-

  π

  5

  ）+f（

  π

  30

  ）=0

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据（

MP

+

MQ

）•

PQ

=0得P，Q的中点在对称轴上，利用中点坐标公式即可得到结论．

解答： 解：∵若f（x）图象上存在一个最高点M，使得（

MP

+

MQ

）•

PQ

=0，
∴由向量平行四边形法则可知以MA，MQ为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，
即对应的四边形是菱形，
∴根据三角函数的对称性可知|

MP

|=|

MQ

|，设M在x轴上的射影D（x，0），
则P，Q关于对称性DP对称，
即对称性DP的方程为x=

- π 12 + π 4

2

=

π

12

，
即当x=

π

12

，时，函数f（x）取得最大值即f（

π

12

）=2，
故选：A

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据向量垂直关系得到P，Q的对称性是解决本题的关键．