Question

已知A，B为椭圆的左右两个顶点，F为椭圆的右焦点，P为椭圆上异于A、B点的任意一点，直线AP、BP分别交椭圆的右准线于M、N点，则△MFN面积的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．11
D．12

Answer 1

【答案】分析：先设P（s，t），由题设条件得两直线PA，PB的方程，与准线方程联立，解出M，N两点的坐标，用s，t表示出线段MN的长度，再由点P在椭圆上，将点的坐标代入椭圆方程，用s表示出t，消去t，得到线段MN的长关于s的函数，又点F到准线的距离是3，由此MFN面积可表示为s的函数，由其形式知，可用判别式法求最小值
解答：解：设P（s，t），由题意直线PA的方程为，即，直线PB的方程为
由于椭圆故a=2，b=，c=1，故其右准线方程为x==4，F（1，0），故F到准线的距离是3
∵直线AP、BP分别交椭圆的右准线于M、N点
∴M（4，），N（4，）
故有|MN|=|-|=||
∴S²=×|MN|²×9=×||①
又P（s，t）在椭圆上，故有 代入①整理得S²=27×
令M=得（M²+1）s²-8s+16-4M²=0，此方程恒有根
故△=64-4（M²+1）（16-4M²）≥0
解得M²≥3，故M≥或M≤-（舍）
∴S²=27×≥27×3
∴S≥9
故选B．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．解题的关键是根据意建立起面积关于坐标的函数，掌握用判别式法求值域也是本题的一个难点，解题时运算技巧很重要．本题运算量很大，要严谨，避免因运算失误导致解题失败．