Question

已知函数f （x）=x²+ax，
（1）若函数关于x=1对称，求实数 a的值；
（2）若函数关于x=1对称，且x∈[0，3]，求函数值域；
（3）若f（x）是定义在（-1，1）上的减函数，且f（a-1）＞f（2a），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）找出对称轴方程和x=1相等即可．
（2）利用开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大来求值域即可．
（3）首先变量要在定义域内，再利用减函数函数值越大自变量越小来求a的取值范围．

解答：解：∵f （x）=x²+ax=（x+

a

2

）²-

a2

4

，对称轴为x=-

a

2

∴-

a

2

=1?a=-2
（2）∵a=-2?f（x）=（x-1）²-1，
∴当x=1时，f（x）_min=-1，当x=3时，f（x）_max=3
∴函数值域[-1，3]．
（3）∵f（x）是定义在（-1，1）上的减函数，且f（a-1）＞f（2a），
∴须满足

-1＜a-1＜1 -1＜2a＜1 a-1＜2a

?0＜a＜

1

2

∴a的取值范围  0＜a＜

1

2

．

点评：本题第二问考查了二次函数在固定闭区间上的最值问题．这类问题一般根据是开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小